Hybridmodell „Punktmasse mit quadratischem Drag, Stützstellenkorrektur und Zielneigung“

Dieses Tool berechnet zusätzliche Visierwerte aus bekannten Referenzwerten mit einem zweidimensionalen Punktmassenmodell. Der Pfeil wird dabei nicht als elastischer Körper mit Schwingung, Rotation, Befiederungslift und Nickmoment modelliert, sondern als Massepunkt, auf den die Gewichtskraft und der aerodynamische Widerstand wirken.

Die Berechnung kombiniert drei Bausteine: eine physikalische ballistische Basiskurve, eine glatte Korrektur durch drei oder vier bekannte Referenzmarken und eine physikalische Anpassung an bergauf oder bergab liegende Ziele.

Die Referenzkurve wird für einen waagerechten Schuss kalibriert. Bei der späteren Ausgabe für ein geneigtes Ziel werden die bereits kalibrierten Parameter nicht erneut angepasst. Stattdessen wird die Richtung der Schwerkraft relativ zur geneigten Zielgeraden berücksichtigt und daraus ein neuer Abschusswinkel berechnet.

Grundlage des ballistischen Modells

Die Grundlage des Modells ist Newtons zweites Gesetz. Ohne Luftwiderstand beschreibt die klassische Ballistik in einem raumfesten Koordinatensystem eine horizontale Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit und eine vertikale Bewegung mit konstanter Erdbeschleunigung.

X = U_0 t

Y = V_0 t - \frac{g t^2}{2}

Reale Flugbahnen sind komplexer, weil der Luftwiderstand von der Geschwindigkeit abhängt und sich die Geschwindigkeit während des Flugs kontinuierlich ändert. Für das hier verwendete Modell wird der Luftwiderstand mit der quadratischen Drag-Gleichung berechnet.

D = C_{D,\mathrm{eff}} \cdot \frac{\rho v^2 A}{2}

Dabei ist $D$ die Widerstandskraft, $C_{D,\mathrm{eff}}$ ein effektiv kalibrierter Widerstandsparameter, $\rho$ die Luftdichte, $v$ die momentane Geschwindigkeit relativ zur Luft und $A$ die verwendete Referenzfläche.

$C_{D,\mathrm{eff}}$ ist in diesem Tool kein reiner aerodynamischer Laborwert des Pfeils. Da als Referenzfläche die Stirnfläche des Schafts verwendet wird, kann der effektive Wert auch Einflüsse zusammenfassen, die das Punktmassenmodell nicht separat beschreibt, etwa Befiederung, leichtes Taumeln, reale Startbedingungen, Visiergeometrie, Messungenauigkeiten und Abweichungen der angenommenen Anfangsgeschwindigkeit.

Zielgerade, Entfernung und Neigungswinkel

Für die Berechnung eines geneigten Ziels wird ein Koordinatensystem verwendet, das mit der direkten Zielgeraden gedreht ist. Die $x$ -Achse zeigt vom Schützen direkt zum Ziel. Die $y$ -Achse steht senkrecht auf dieser Zielgeraden.

Der Neigungswinkel $\alpha$ wird relativ zur Horizontalen angegeben. Positive Werte bedeuten bergauf, negative Werte bergab. Zulässig sind Werte zwischen $-45^\circ$ und $+45^\circ$ . Ohne Angabe wird $\alpha = 0^\circ$ verwendet.

Die eingegebene Entfernung $d$ ist die direkte Sichtlinien- oder Schrägentfernung zum Ziel, nicht ihre horizontale Projektion. Im raumfesten Koordinatensystem liegt das Ziel damit bei:

X_{\mathrm{Ziel}} = d \cos(\alpha)

Y_{\mathrm{Ziel}} = d \sin(\alpha)

Im gedrehten Rechenkoordinatensystem liegt dasselbe Ziel bei:

(x_{\mathrm{Ziel}}, y_{\mathrm{Ziel}}) = (d, 0)

Die Zielhöhe ist im Service fest auf $0\,\mathrm{m}$ gesetzt (also Schulterhöhe). Der Pfeil soll die Zielgerade daher an der direkten Entfernung $d$ schneiden.

Zustandsgrößen und Kräfte

Der Pfeil wird im zielorientierten Koordinatensystem durch seine Position und Geschwindigkeit beschrieben:

x,\ y,\ v_x,\ v_y

Die momentane Geschwindigkeit ergibt sich aus den beiden Geschwindigkeitskomponenten:

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

Für die Referenzfläche wird die Stirnfläche des Pfeilschafts verwendet:

A = \pi \left(\frac{d_{\text{Pfeil}}}{2}\right)^2

Die Erdbeschleunigung wird angenommen mit:

g = 9{,}80665\,\mathrm{m/s^2}

Da das Koordinatensystem um den Zielwinkel $\alpha$ gedreht ist, besitzt die Schwerkraft eine Komponente entlang der Zielgeraden und eine Komponente senkrecht dazu:

g_x = -g \sin(\alpha)

g_y = -g \cos(\alpha)

Die Widerstandskraft wirkt immer entgegen der momentanen Bewegungsrichtung. Daraus ergeben sich die im Service verwendeten Beschleunigungen:

a_x = -g \sin(\alpha) - \frac{1}{2m}\rho C_{D,\mathrm{eff}} A\,v\,v_x

a_y = -g \cos(\alpha) - \frac{1}{2m}\rho C_{D,\mathrm{eff}} A\,v\,v_y

Bei einem waagerechten Ziel mit $\alpha = 0$ verschwindet die Schwerkraftkomponente entlang der Zielgeraden. Dann gilt wieder $g_x = 0$ und $g_y = -g$ .

Startbedingungen

Die Bewegung startet mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ . Der Winkel $\theta$ ist der Abschusswinkel relativ zur geneigten Zielgeraden, nicht relativ zur Horizontalen.

v_x(0) = v_0 \cos(\theta)

v_y(0) = v_0 \sin(\theta)

Der absolute Winkel der Anfangsgeschwindigkeit gegenüber der Horizontalen ist damit:

\varphi = \alpha + \theta

Auf diese Weise bildet das Modell ab, dass Bogen und Visier auf ein bergauf oder bergab liegendes Ziel ausgerichtet werden und sich dadurch der Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor und Schwerkraft ändert.

Numerische Integration

Die Flugbahn wird mit einem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung schrittweise numerisch integriert. Dieses Verfahren ist bei gleicher Schrittweite genauer und stabiler als ein einfaches Euler-Verfahren.

Die Integration läuft, bis die Koordinate entlang der direkten Zielgeraden die angegebene Entfernung erreicht. Falls der letzte Rechenschritt $x = d$ überschreitet, wird die senkrechte Abweichung an der exakten Zielentfernung linear zwischen den letzten beiden Integrationspunkten interpoliert.

Bestimmung des Abschusswinkels

Für jede direkte Zielentfernung und jeden Zielneigungswinkel wird der Abschusswinkel so gesucht, dass der Pfeil die Zielgerade genau am Zielpunkt schneidet:

y(d,\theta,\alpha) = 0

Das Tool tastet zunächst einen Winkelbereich ab, um ein Intervall mit einem Vorzeichenwechsel der Höhenabweichung zu finden. Anschließend wird die Nullstelle mit Bisektion verfeinert. Dadurch wird der Winkel relativ zur geneigten Visier- und Zielgeraden bestimmt, bei dem der simulierte Pfeil den Zielpunkt erreicht.

Kalibrierung der ballistischen Basiskurve

Die Kalibrierung anhand der bekannten Referenzmarken erfolgt weiterhin für einen waagerechten Schuss mit $\alpha = 0^\circ$ und einer Zielhöhe von $0\,\mathrm{m}$ . Für jede Referenzentfernung wird dafür zunächst der erforderliche Winkel $\theta(d,0)$ berechnet.

Die Verbindung zwischen Abschusswinkel und Visierwert wird in der ballistischen Basiskurve als lineare Abbildung modelliert:

B(d,0) = a + b\theta(d,0)

Dabei ist $a$ der Skalenoffset und $b$ der Umrechnungsfaktor zwischen Winkeländerung und Visierbewegung.

Der effektive Widerstandsparameter wird innerhalb des zulässigen Bereichs zunächst grob abgetastet und anschließend mit einer Goldenen-Schnitt-Suche verfeinert. Für jeden geprüften Drag-Wert werden $a$ und $b$ per linearer Ausgleichsrechnung bestimmt.

Die Zielfunktion kombiniert den mittleren quadratischen Fehler mit dem größten absoluten Fehler. Dadurch soll die Basiskurve nicht nur im Mittel gut passen, sondern auch keinen einzelnen Referenzpunkt stark verfehlen:

J = 0{,}65\,\operatorname{RMSE}(e_i) + 0{,}35\,\max_i |e_i|

e_i = B(d_i,0) - S_i

Diese Optimierung liefert eine physikalisch plausible Grundform. Die Basiskurve muss die Referenzpunkte noch nicht exakt treffen.

Exakte Stützstellenkorrektur

Nach der ballistischen Kalibrierung wird für jeden Referenzpunkt die verbleibende Abweichung berechnet:

r_i = S_i - B(d_i,0)

Aus diesen Restfehlern wird eine glatte kubische Korrekturkurve $R(d)$ aufgebaut. Der Service verwendet dafür eine PCHIP-ähnliche kubische Hermite-Interpolation. Sie läuft exakt durch die Restfehler der Referenzpunkte und ist weniger anfällig für Überschwingen als ein einzelnes Polynom hoher Ordnung.

Für den waagerechten, kalibrierten Fall lautet der endgültige Visierwert:

S(d,0) = a + b\theta(d,0) + R(d)

An den Referenzentfernungen gilt deshalb bis auf numerische Rundungsfehler:

S(d_i,0) = S_i

Das Tool akzeptiert drei oder vier Referenzpunkte. Drei Punkte reichen für die Kalibrierung aus; ein vierter Punkt verbessert die lokale Kontrolle der Kurvenform.

Berechnung für ein geneigtes Ziel

Für ein geneigtes Ziel bleibt die gesamte zuvor bestimmte Kurvenanpassung unverändert. Insbesondere werden $C_{D,\mathrm{eff}}$ , $a$ , $b$ und die Stützstellenkorrektur $R(d)$ nicht neu gefittet.

Es wird ausschließlich der physikalisch erforderliche Abschusswinkel mit den gedrehten Gravitationskomponenten neu berechnet. Der Visierwert für die Zielneigung $\alpha$ lautet damit:

S(d,\alpha) = a + b\theta(d,\alpha) + R(d)

Gleichwertig kann die geneigte Visiermarke als Korrektur der bereits kalibrierten waagerechten Marke geschrieben werden:

S(d,\alpha) = S(d,0) + b\left[\theta(d,\alpha) - \theta(d,0)\right]

Die PCHIP-Korrektur wird dabei weiterhin anhand der direkten Entfernung $d$ ausgewertet. Sie wird weder auf die horizontale Projektion $d\cos(\alpha)$ umgerechnet noch für die Neigung verändert.

Die exakte Stützstellengarantie gilt für den kalibrierten waagerechten Fall. Für geneigte Ziele stellt das Modell eine physikalische Übertragung der waagerechten Kalibrierung dar; ohne zusätzliche geneigte Referenzmessungen ist dies keine separate exakte Kalibrierung für jede Neigung.

Verhalten außerhalb der Referenzentfernungen

Innerhalb des Bereichs der Referenzentfernungen wird die Korrekturkurve interpoliert. Standardmäßig wird außerhalb dieses Bereichs die nächstgelegene Korrektur konstant fortgeführt. Optional kann die Endpunktsteigung linear fortgesetzt oder außerhalb des Referenzbereichs ganz auf die empirische Korrektur verzichtet werden.

Die Extrapolation außerhalb der bekannten direkten Entfernungen ist grundsätzlich unsicherer als die Interpolation zwischen Referenzpunkten. Die zuverlässigsten Ergebnisse entstehen daher innerhalb des durch die Referenzmarken abgedeckten Entfernungsbereichs.

Warum eine Kalibrierung notwendig ist

Für Pfeile ist diese Kalibrierung wichtig, weil der reale Widerstandsbeiwert keine universelle Konstante ist. Aerodynamische Messungen an Archery-Arrows zeigen, dass der Drag-Koeffizient unter anderem von Reynolds-Zahl, Grenzschichtzustand, Spitzenform, Schaft, Befiederung und Anströmung abhängen kann.

Das Modell verwendet deshalb einen effektiv kalibrierten Widerstandsparameter. Dieser Wert fasst reale Einflüsse zusammen, die im Punktmassenmodell nicht einzeln beschrieben werden. Ein hoher effektiver Wert bedeutet daher nicht automatisch, dass der isolierte aerodynamische Drag-Koeffizient des Pfeilschafts ebenso hoch wäre.

Durch die zusätzliche Stützstellenkorrektur wird das Modell eng an das reale Setup aus Bogen, Pfeil, Visier, Geschwindigkeit und Schützenkalibrierung angepasst. Die Zielneigung wird anschließend als physikalische Änderung der Schwerkraftrichtung relativ zu diesem kalibrierten Setup behandelt.

Annahmen und Grenzen des Modells

Wind wird nicht berücksichtigt.
Der Pfeil wird als Punktmasse behandelt; Schwingung, Spin, Befiederungslift und Nickmomente werden nicht separat simuliert.
Die Luftdichte wird als konstant über die Flugbahn angenommen.
Der verwendete Widerstandsparameter ist ein effektiv kalibrierter Wert und kein isoliert gemessener Laborwert des Pfeils.
Die Referenzmarken werden für einen waagerechten Schuss mit Zielhöhe $0\,\mathrm{m}$ kalibriert.
Die eingegebene Entfernung ist bei geneigten Zielen die direkte Sichtlinien- oder Schrägentfernung.
Die Zielneigung beschreibt nur die vertikale Ebene zwischen bergauf und bergab. Seitliches Verkanten des Bogens und seitliche Flugabweichungen werden nicht modelliert.
Die Visiermechanik wird in der Basiskurve als lineare Abbildung zwischen relativem Abschusswinkel und Skalenwert behandelt.
Die empirische Stützstellenkorrektur bleibt bei geneigten Zielen unverändert und wird nach der direkten Entfernung ausgewertet.
Die Referenzpunkte werden nur im kalibrierten waagerechten Fall exakt getroffen. Geneigte Ausgaben sind physikalisch angepasste Vorhersagen.
Die besten Ergebnisse entstehen innerhalb des Entfernungsbereichs der angegebenen Referenzpunkte.

Einordnung

Das Ergebnis ist keine CFD-Simulation des Pfeils, sondern ein praxistaugliches externes Ballistikmodell. Es berücksichtigt die geschwindigkeitsabhängige Abbremsung, reproduziert die waagerechten Referenzmarken sehr genau und passt die berechneten Visierwerte für bergauf und bergab liegende Ziele über die veränderte Richtung der Schwerkraft an.

Das Modell verwendet damit keine einfache Regel auf Basis der horizontalen Entfernung. Stattdessen wird für jede direkte Entfernung und Zielneigung die Flugbahn erneut numerisch gelöst, während die zuvor kalibrierte Kurvenform erhalten bleibt.

Quellen

NASA Glenn Research Center: Drag Equation. Grundlage für die quadratische Widerstandsgleichung $D = C_D \rho V^2 A / 2$ und die Bedeutung von Luftdichte, Referenzfläche und Drag-Koeffizient.
https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/drag-equation/
NASA Glenn Research Center: Ballistic Flight Equations. Grundlage für die klassische Flugbahn ohne Drag und den Hinweis, dass reale Flugbahnen mit Drag numerisch behandelt werden müssen.
https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/ballistic-flight-equations/
Takeshi Miyazaki, Keita Mukaiyama, Yuta Komori, Kyouhei Okawa, Satoshi Taguchi, Hiroki Sugiura: Aerodynamic properties of an archery arrow. Archery-spezifische Messungen zu Drag-Koeffizienten, Reynolds-Zahl und Grenzschichtverhalten von Pfeilen.
https://archerycoachesguildblog2.wordpress.com/wp-content/uploads/2015/06/tl_arfd2.pdf
F. N. Fritsch, R. E. Carlson: Monotone Piecewise Cubic Interpolation. Grundlage für PCHIP-ähnliche kubische Hermite-Interpolation, die Stützpunkte exakt trifft und Überschwingen reduziert.
Standardgravitation: Der übliche Standardwert der Erdbeschleunigung beträgt $9{,}80665\,\mathrm{m/s^2}$ .